Narodil se v Brně. Vyučil se knihkupcem, po 1. svět. válce pracoval u brněnské papírenské firmy IPRO/Procházka (po znárodnění Brněnské papírny). R. 1926 se s manželkou přestěhoval na Vsetín, kde koupil dům a začal podnikat v knihkupectví, knihařství a papírnictví.
R. 1932 si postavil vlastní dům ve Vsetíně na Dolním městě. Brzy po svém příchodu na Vsetín se seznámil s místním lékárníkem Karlem Puszkailerem, fotografem a velkým propagátorem turistiky na Valašsku. Spolu začali s vydávat sérii pohlednic a dalších propagačních materiálů, krátce vydávali i noviny „Vsacko“. Těsně před 2. světovou válkou navázal spolupráci s Františkem Bittnerem (pozdějším redaktorem nakladatelství Orbis). R. 1950 byl obchod Františka Vévody znárodněn.
Text a další informace: OŠŤÁDAL, Milan. František Vévoda: vydavatel fotopohlednic a knihkupec. Valašský deník. 2014, č. 34, s. 8 příl. Naše Valašsko.